Рассчитывая давление в спиральном канале, будем по-прежнему рассматривать канал круглого сечения с неподвижными стенками.
Очевидно, что при движении жидкости по каналу неизменного сечения и, следовательно, в силу уравнения непрерывности, с неизменной скоростью, жидкостное трение будет вызывать потерю напора или, другими словами, потерю давления по мере продвижения жидкости от входа в трубу к её выходу. Поэтому в случае горизонтальной трубы для обеспечения нужной скорости свободно изливающегося потока на входе трубы необходимо создать избыточное давление, компенсирующее потерю напора при движении жидкости по этой трубе с заданной скоростью. Сразу возникает вопрос: а нельзя ли создавать это самое давление по мере продвижения жидкости по трубе, то есть компенсировать потери давления, так сказать, на ходу? Ответ: можно, если жидкость в этой трубе будет испытывать постоянное или периодическое воздействие каких-либо сил. Если разместить трубу вертикально, то такой силой может быть сила тяжести, а для свёрнутой в спираль вращающейся трубы это будет центробежная сила. Сразу хочу ещё раз подчеркнуть — наша цель заключается не в механическом разгоне потока, поскольку в замкнутом цикле это не может дать прибавки энергии, а в поддержании (или создании) нужного давления потока. Сама по себе скорость потока для нас не имеет значения, кроме обеспечения жидкостного сопротивления, необходимого для достижения этих двух целей!
Отсюда следует, что, во-первых, на каждом участке трубки прибавка давления от действия центробежных сил должна превышать потери давления от жидкостного трения
ΔPЦ ≥ ΔPT (2.1).
Во-вторых, как мы уже говорили выше, энергия, потраченная на жидкостное трение (плюс неизбежные потери на теплообмен с внешней средой через стенки трубки), откуда следует условие
PT • qV ≥ ΔT • q • c (2.2),
где PT — общая потеря давления из-за жидкостного трения при прохождении жидкости по всей длине трубки; qV — объёмный расход жидкости, м3/ с; ΔT —нагрев жидкости (разность температур); q — массовый расход жидкости в трубе, кг / с; c — усреднённая (в диапазоне температур) теплоёмкость рабочего тела в жидком состоянии.
Выразив объёмный расход через массовый, мы приходим к соотношению
PT ≥ ΔT • c • ρ (2.3),
где PT — общая потеря давления из-за жидкостного трения при прохождении жидкости по всей длине трубки; ΔT — (разность температур); c— усреднённая теплоёмкость рабочего тела в жидком состоянии; ρ — усреднённая плотность рабочего тела в жидком состоянии.
Давление от действия центробежных сил можно вычислить как
PЦ = m • (aЦС – aЦИ) / S = l • S • ρ • (aЦС – aЦИ) / S = l • ρ • (aЦС – aЦИ) (2.4),
где PЦ — общая прибавка давления от действия центробежных сил при прохождении жидкости по всей длине трубки; m — масса жидкости в трубке; aЦС и aЦИ — центростремительное ускорение в точках стока (выхода из трубки) и истока (входа в трубку) соответственно; l — длина трубки; S — площадь сечения трубки (неизменная по всей её длине); ρ — усреднённая плотность рабочей жидкости; f — частота вращения ротора; RС и RИ — радиусы вращения точек стока и истока соответственно.
В нашем случае жидкость движется по спирали, при этом её скорость практически на всём протяжении спирали при неизменном сечении канала относительно его стенок будет одинаковой. В связи с этим разность давлений для открытого канала с учётом определения тангенциальной скорости ротора через скорость его вращения следует записать как
PЦ = l • ρ • ((2 • π • f • RC – v)2 / RC – (2 • π • f • RИ – v)2 / RИ) = l • ρ • ((2 • π • f)2 • (RC – RИ) + v2 / RС – v2 / RИ) (2.5),
где PЦ — общая прибавка давления от действия центробежных сил при прохождении жидкости по всей длине трубки; l — длина трубки; ρ — усреднённая плотность рабочей жидкости; f — частота вращения ротора; RС и RИ — радиусы вращения точек стока и истока соответственно; v — скорость течения жидкости в спиральной трубке относительно её стенок. Следует заметить, что при уменьшении радиусов прибавка давления стремится к бесконечности, но физического смысла это не имеет — даже при подаче жидкости через середину вала ротора в качестве входного радиуса следует брать радиус отверстия, через которое жидкость поступает в ротор, поэтому RИ никогда не может быть бесконечно малым, а RС у нас всегда должен быть больше RИ.
На основании соотношений (2.1), (2.3) и (2.5) можно определить первый критерий минимальной длины спирального канала:
l ≥ ΔT • c / ((2 • π • f)2 • (RC – RИ) + v2 / RС – v2 / RИ) (2.6).
Здесь равенство соответствует условии отсутствия теплопотерь и сохранении давления неизменным. Следует заметить, что при уменьшении частоты вращения f или увеличении скорости в канале v значение l нарастает сначала медленно, а затем всё быстрее, и вдруг становится сильно отрицательным. Отрицательные значения соответствуют ситуации, когда на большей части радиуса жидкость в канале движется в сторону, противоположную вращению ротора — не только относительно стенок канала, но и относительно внешнего наблюдателя, находящегося вне двигателя в инерциальной системе отсчёта, то есть центробежные силы будут не столько ускорять, сколько тормозить жидкость. Однако центробежным силам, а стало быть и вызванному ими давлению, безразлично, в какую сторону происходит вращение — главное, чтобы оно происходило. Поэтому формулу (2.6) следует записать в виде
l ≥ ΔT • c / ((2 • π • f)2 • (RC – RИ) + |v2 / RС – v2 / RИ|) (2.7),
где вертикальные палочки | обозначают абсолютную величину (модуль) выражения, заключённого в них.
Однако следует помнить, что в тех случаях, когда формула (2.6) даёт отрицательные значения, режим двигателя абсолютно не соответствует расчётному, суммарная работа центробежных сил способствует торможению жидкости относительно стенок канала, а не её разгону, и это требует создания существенно большего давления на входе и, соответственно, затрат мощности на это. В результате на основании формул (2.6) и (2.7) приходим к выводу, что для поддержания и наращивания давления было бы желательно обеспечить минимальную скорость потока и максимальную скорость вращения ротора (центробежную силу). Впрочем, это следует и из уравнения Бернулли, которое однозначно говорит об обратной зависимости между квадратом скорости потока и его давлением. Тем не менее, из формулы (2.7) следует и ещё один вывод —высокого центробежного давления можно достичь и в неподвижном роторе, обеспечив высокую скорость потока в спиральном канале. Правда, при этом не совсем ясно, как же снимать мощность с такого потока — ведь в этом случае спираль будет неподвижной!
Можно заметить, что при малых скоростях вращения и высоких скоростях потока диаметр ротора практически не имеет значения — всё определяет скорость потока и длина канала, поэтому даже разница между конической и цилиндрической навивками спирали будет невелика (правый нижний угол таблиц). При высоких скоростях вращения и относительно низкой скорости потока, наоборот, всё опеределяет диаметр ротора (левый верхний угол таблиц). При этом по мере роста диаметра ротора длина канала, наоборот, сокращается, поэтому после некоторого предела возможна упаковка канала не в коническую, а в плоскую спираль — правда, если при этом длины спирали будет достаточно для обеспечения необходимых потерь на трение.
В завершение надо добавить, что канал может иметь и меньшую длину, но в этом случае будет иметь место потеря давления, давление на его выходе будет меньше давления на входе.
Переводя давление в привычный для гидродинамических расчётов напор, мы получим минимально необходимые потери напора от жидкостного трения
HT = PT / (g • ρ) = ΔT • c / g (3.1),
эти потери составят примерно HТв = 150 • 4190 / 9.81 ~ 64 км (да-да, именно километров!), что соответствует потере давления в 6.3•109 Па(6200 атм). подобные цифры сразу относят эту идею в разряд ненаучной околотехнической фантастики. И всё же попробуем (хотя бы теоретически) рассчитать параметры потока. Для начала предположим, что мы имеем дело с сильно турбулентным потоком в гидравлически гладкой трубе. В таком случае в соответствии с формулой Вейсбаха-Дарси и числом Рейнольдса потери напора определяются как
HT = (0.3164 / Re0.25) • (l / d) • v2 / (2 • g) = (0.3164 / (v • d • ρ / η)0.25) • (l / d) • v2 / (2 • g) (3.2),
где HT — потери напора на трение; Re — число Рейнольдса; l — длина трубы; d — её диаметр; v — усреднённая скорость потока (вычисляемая по расходу); g — ускорение свободного падения; ρ — усреднённая плотность рабочей жидкости. η — усреднённая динамическая вязкость рабочей жидкости.
Отсюда минимально необходимую длину канала можно вычислить по формуле
l = HT • (v • d • ρ / η)0.25 • 2 • g • d / (0.3164 • v2) (3.3).
Результаты расчёта для нескольких скоростей и диаметров канала сведём в таблицу (красным показаны сочетания параметров, соответствующие ламинарному течению потока, поэтому указанные в таблице значения могут быть сильно занижены).
Таблица 3.1. Минимальная длина спирального канала
Диаметр канала d →
Скорость потока v ↓ 1 мм 4 мм
(1/6") 8 мм
(1/3") 12 мм
(1/2") 19 мм
(3/4") 25 мм
(1")
0.1 м/с 1274 км 7210 км 17149 км 28468 км 50561 км 71252 км
1 м/с 22.66 км 128.2 км 305.0 км 506.2 км 899.1 км 1267 км
2 м/с 6739 м 38.12 км 90.66 км 150.5 км 267.3 км 376.7 км
3 м/с 3315 м 18.75 км 44.59 км 74.02 км 131.5 км 185.2 км
5 м/с 1355 м 7669 м 18.24 км 30.28 км 53.78 км 75.79 км
7 м/с 752.4 м 4256 м 10.12 км 16.80 км 29.85 км 42.06 км
10 м/с 403.1 м 2280 м 5423 м 9002 м 15.99 км 22.53 км
15 м/с 198.3 м 1121 м 2667 м 4427 м 7864 м 11.08 км
20 м/с 119.8 м 677.9 м 1612 м 2676 м 4754 м 6699 м
Результаты не слишком утешительны, необходимая длина варьируется от тысяч километров до сотен метров, причём последние значения соответствуют мизерному диаметру и высокой скорости потока, а, стало быть, и высокому давлению. Однако, с ростом скорости необходимая длина сокращается почти обратно пропорционально квадрату скорости, а это значит, что основное внимание надо уделить именно повышению скорости. Кроме того, мы рассматривали вариант гидравлически гладкой трубы, а ведь на пути потока можно создать искусственные препятствия-завихрители. Удастся ли с их помощью сократить необходимую длину канала до разумных значений — максимум, несколько десятков метров?
Рассматривая различные варианты завихрителей потока в трубе, я прихожу к выводу, что наиболее простым и технологичным решением является обеспечение резких расширений и сужений русла потока. Технически это можно реализовать, набив трубку попеременно втулками с большим и малым диаметром отверстий, как показано на рисунке. Втулки с малыми отверстиями будут соответствовать резким сужениям сечения, а втулки с большими отверстиями — играть роль проставок между ними и обеспечивать резкое расширение сечения. Проведём расчёт именно для этого простейшего случая, хотя, конечно, в реальности длину трубки можно использовать более эффективно.
Канал с переменным сечением. Слева — рассчитываемый вариант, справа — вариант с завихрителями, использующими длину трубки более эффективно. D — диаметр большого сечения (во втулке-проставке), L — длина втулки-проставки, d — диаметр малого сечения (во втулке-жиклёре), l — длина втулки-жиклёра.
В нашем случае как единичный элемент следует рассматривать пару втулок и, следовательно, пару изменений профиля «сужение-расширение». При этом потери напора в каждой паре будут определяться по формуле
HП = (ζC + ζР) • v2 / (2 • g) = ((1 – SУ / SШ)2 + (1 – SУ / SШ) / 2) • v2 / (2 • g) = ((1 – (d / D)2)2 + (1 – (d / D)2) / 2) • v2 / (2 • g) (3.4),
где HT — потери напора; ζС — коэффициент потерь при сужении канала; ζР — коэффициент потерь при расширении канала; v — скорость в наименьшем сечении канала (наиболее высокая скорость); g — ускорение свободного падения; SУ — площадь сечения канала в узкой втулке; SШ — сечение канала в широкой втулке; d — диаметр узкого отверстия; D — диаметр широкого отверстия.
Соответственно, необходимое число элементов (пар втулок) рассчитывается по формуле
n = HТ / HП (3.5),
где n — число элементов; HT — общие необходимые потери напора; HП — потери напора на одном элементе (паре сужение-расширение канала).
Отметим интересный факт: в полученных формулах не фигурирует вязкость жидкости.
Результаты расчёта для нескольких комбинаций параметров сведены в таблицу.
Таблица 3.2. Потери напора на одном элементе (паре сужение-расширение канала) и минимально необходимое число таких элементов при разных скоростях потока и различных соотношениях диаметров широкой и узкой частей
Соотношение диаметров D / d →
Скорость потока v ↓ 1.5 2 3 5 10 20 50
1 м/с 30 мм (-) 48 мм (-) 63 мм (-) 71 мм (-) 75 мм (-) 76 мм (-) 76 мм (-)
2 м/с 0.119 м (-) 0.191 м (-) 0.252 м (-) 0.286 м (-) 0.301 м (-) 0.305 м (-) 0.306 м (-)
3 м/с 0.269 м (-) 0.430 м (-) 0.566 м (-) 0.643 м (-) 0.676 м (96062) 0.685 м (94862) 0.687 м (94530)
5 м/с 0.747 м (86989) 1.19 м (54413) 1.57 м (41320) 1.79 м (36396) 1.88 м (34582) 1.90 м (34151) 1.91 м (34031)
7 м/с 1.46 м (44383) 2.34 м (27762) 3.08 м (21082) 3.50 м (18569) 3.68 м (17643) 3.73 м (17424) 3.74 м (17363)
10 м/с 2.99 м (21748) 4.78 м (13604) 6.29 м (10330) 7.14 м (9099) 7.51 м (8646) 7.61 м (8538) 7.64 м (8508)
15 м/с 6.73 м (9666) 10.8 м (6046) 14.2 м (4592) 16.1 м (4044) 16.9 м (3843) 17.1 м (3795) 17.2 м (3782)
20 м/с 12.0 м (5437) 19.1 м (3401) 25.2 м (2583) 28.6 м (2275) 30.1 м (2162) 30.4 м (2134) 30.6 м (2127)
Количество элементов в таблице указано лишь для тех сочетаний параметров, при которых оно не превышает 100 000, большие количества заменены прочерками (впрочем, для их вычисления достаточно поделить напор в 65 км на падение давления на одном элементе). В любом случае, даже при огромной скорости 20 м/с, количество элементов исчисляется тысячами, как и в случае прямого потока в гладкой трубе, потери резко возрастают с ростом скорости потока, причём зависмость эта не почти квадратичная, а строго квадратичная.
Во-вторых, не следует стремиться к наибольшей разности диаметров большого и малого сечений: если при их близких значениях увеличение разницы сечений существенно увеличивает потери, то затем это влияние уменьшается, и при соотношении диаметров широкой и узкой частей от 10:1 и более потери определяются уже практически лишь одной скоростью потока. Поэтому на практике стоит использовать разность диаметров каналов в диапазоне от 3:1 до 5:1 и не имеет никакого смысла стремиться к разности диаметров более 10:1, если только это не обусловлено какими-либо другими причинами.
